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jueves, 30 de mayo de 2013

Distribucion Binomial

Para definir la distribución binomial hay que definir antes lo que es un experimento binomial.
Un experimento binomial es aquel que cumple con las siguientes propiedades:

i) consiste en n ensayos bernoulli, esto es, en la repetición n veces de un experimento que consta de 2 posibles resultados, que llamaremos éxito o fracaso.

ii) La probabilidad P de éxito se mantiene constante en cada uno de los n ensayos de bernoulli y en consecuencia, la probabilidad de fracaso 1-P también se mantiene constante en cada una de las pruebas o ensayos.

iii) los n ensayos de bernoulli son independientes entre si, o sea que el resultado no afecta el resultado de los demás.

Ejemplo de un experimento binomial.

  • Cada uno de los siguientes casos constituye un experimento binomial.
  • lanzar 5 veces una moneda
  • responder al azar(sin pensar) un cuestionario de 10 preguntas del tipo verdadero o falso.
al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n de una población dicotómica, el experimento es binomial si la selección es con o sin reposición ahora bien dado un experimento binomial cualquiera, vamos a definir la variable aleatoria X como el numero de éxitos que se obtienen en los n ensayos bernoulli esta variable se le denomina VARIABLE BINOMIAL y su correspondiente distribución de probabilidad se conoce como distribución binomial.

las variables x pueden tomar los valores 0,1,2,3,4,...,n vamos a determinar la probabilidad de que X tome un valor cualquiera X, siendo X=0,1,2,...,n la variable aleatoria x que representa el numero de éxitos en n ensayos de un experimento binomial sigue una distribución binomial dada por:

P(X=x)= $\displaystyle\binom{n}{x}$*$P^x$*$(1-P)^n-x$             x=0,1,2,3,4,..,n

la cual se denomina distribución binomial.

la función de masa binomial depende de los valores n y p: para diferentes valores de n y p se obtienen diferentes distribuciones binomiales. En consecuencia, se dice que n y p son los parámetros de la distribución binomial con determinados parámetros n y p, la probabilidad de fracaso de denomina q donde q=1-P siendo P+q=1


se sabe que el 30% de los habitantes de una ciudad depende del asma. determinar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 4 personas.

i) Ninguna padezca de agua.
ii) más de 2 sufran de asma.

     sea x el numero de personas que sufren de asma en una muestra de personas.
                X~B(n=4; P=0,3)

i) P(X=0)= $\displaystyle\binom{4}{0}$*$0,3^0$*$(0,7)^4$=0,2401
ii) P(X $\geq$ 3)= $\displaystyle\binom{4}{3}$*$0,3^3$*$(0,7)^1$ + $\displaystyle\binom{4}{4}$*$0,3^4$*$(0,7)^0$= 
0,0756 + 0,0081=0,0837