Distribucion Binomial

Para definir la distribución binomial hay que definir antes lo que es un experimento binomial.
Un experimento binomial es aquel que cumple con las siguientes propiedades:

i) consiste en n ensayos bernoulli, esto es, en la repetición n veces de un experimento que consta de 2 posibles resultados, que llamaremos éxito o fracaso.

ii) La probabilidad P de éxito se mantiene constante en cada uno de los n ensayos de bernoulli y en consecuencia, la probabilidad de fracaso 1-P también se mantiene constante en cada una de las pruebas o ensayos.

iii) los n ensayos de bernoulli son independientes entre si, o sea que el resultado no afecta el resultado de los demás.

Ejemplo de un experimento binomial.

• Cada uno de los siguientes casos constituye un experimento binomial.
• lanzar 5 veces una moneda
• responder al azar(sin pensar) un cuestionario de 10 preguntas del tipo verdadero o falso.

al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n de una población dicotómica, el experimento es binomial si la selección es con o sin reposición ahora bien dado un experimento binomial cualquiera, vamos a definir la variable aleatoria X como el numero de éxitos que se obtienen en los n ensayos bernoulli esta variable se le denomina VARIABLE BINOMIAL y su correspondiente distribución de probabilidad se conoce como distribución binomial.

las variables x pueden tomar los valores 0,1,2,3,4,...,n vamos a determinar la probabilidad de que X tome un valor cualquiera X, siendo X=0,1,2,...,n la variable aleatoria x que representa el numero de éxitos en n ensayos de un experimento binomial sigue una distribución binomial dada por:

P(X=x)= $\displaystyle\binom{n}{x}$*$P^x$*$(1-P)^n-x$             x=0,1,2,3,4,..,n

la cual se denomina distribución binomial.

la función de masa binomial depende de los valores n y p: para diferentes valores de n y p se obtienen diferentes distribuciones binomiales. En consecuencia, se dice que n y p son los parámetros de la distribución binomial con determinados parámetros n y p, la probabilidad de fracaso de denomina q donde q=1-P siendo P+q=1

Ejercicios resueltos de distribución binomial

se sabe que el 30% de los habitantes de una ciudad depende del asma. determinar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 4 personas.

i) Ninguna padezca de agua.

ii) más de 2 sufran de asma.

     sea x el numero de personas que sufren de asma en una muestra de personas.

                X~B(n=4; P=0,3)

i) P(X=0)= $\displaystyle\binom{4}{0}$*$0,3^0$*$(0,7)^4$=0,2401

ii) P(X $\geq$ 3)= $\displaystyle\binom{4}{3}$*$0,3^3$*$(0,7)^1$ + $\displaystyle\binom{4}{4}$*$0,3^4$*$(0,7)^0$= 

0,0756 + 0,0081=0,0837