probabilidad condicional

Dado dos (2) eventos A y B, la probabilidad condicional se denota como la probabilidad de A dado B, P(A/B), /B significa que ya ocurrio B y es una medida de la probabilidad de ocurrencia de A dado que el evento B ocurrio previamente .

formula P(A/B)=  $\frac{P(A∩B)}{P(B)}$

regla multiplicativa

P(A∩B)= P(A). P(B/A)

P(A∩B∩C)=P(C/A∩B). P(A∩B)

EJEMPLO:

una caja con metras:

5 metras blancas.
3 metras negras.
2 metras rojas. se extrae una a una 3 metras sin reemplazo

¿ hallar la probabilidad de obtener 2 metras roja ? R=rojo

P(1R)= $\frac{2}{ 10}$ 

P(2R/1R)= $\frac{P(1R ∩ 2R)}{ P(1R)}$
P(1R∩2R)= P(1R). P(2R/1R)
                   =  $\frac{2}{ 10}$ x $\frac{1}{ 9}$ = 2/90

¿Probabilidad de que la segunda metras sea roja ? P(2R)=?

P(2R)=[ (1B∩2R)U( 1N∩2R )U(1R∩2R) ]

P(2R)= P(1B∩2R)+ P(1N∩2R)+ P(1R∩2R)

P(2R)= P(1B). P(2R/1B) + P(1N). P(2R/1N)+ P(1R). P(2R/1R)
P(2R)= (5/10 . 2/10) + ( 3/10 . 2/10) + ( 2/10 . 1/9)

P(2R)= 10/90 + 6/90 + 2/90

P(2R)= 18/90 => SE SIMPLIFICA => 9/45

Ejercicios Resueltos Probabilidad Condicional 

1) se presentan los trabajadores de una industria, clasificacion segun el cargo y el sexo.

___________________________________

                    Hombres     Mujeres     Totales

___________________________________

obreros            80               113               193

Empleados      30                 17                 47

Directores        4                    6                 10

----------------------------------------------------

Totales           114               136               250

----------------------------------------------------

El dueño de la empresa desea otorgra un premio estimulo especial y para ello decide seleccionar al alzar uno de los trabajadores.

Consideremos los Eventos

A: ser Empleado

B: ser mujer

asumiendo equiprobable en la seccion de las personas, las probabilidaes A y B son:

P(A)=$\frac{47}{250}$ = 0.188     P(B)= $\frac{136}{250}$ = 0.544

P(A) es la probabilidad de que sea empleado, P(B) es la probabilidad de que sea mujer, ahora calcular la probabilidad de que la persona sea empleada sabiendo que es mujer, P(A/B)=   $\frac{P(A∩B)}{P(B)}$ entonces P(A∩B)= $\frac{17}{250}$ ahora P(A/B)=$\frac{17/250}{136/250}$ = 0.125

2) Tengo 2 urnas, una con 2 bolas blancas y una negra y la otra con 3 bolas negras y 2 blancas.

i) cual es la probabilidad de que salga una bola blanca si salió la urna 1?

 solucion:

 

E1: urna 1

E2: urna 2

A: salga una bola blanca

B: salga una bola negra

P(A/E1)= $\frac{P(A ∩ E1)}{ P(E1)}$

ahora despejamos, P(A ∩ E1) = P(E1)*P(A/E1)

P(E1)= $\frac{3}{ 8}$

P(A/E1)=$\frac{2}{ 3}$ entonces P(A ∩ E1)= $\frac{3}{ 8}$ * $\frac{2}{ 3}$ =0,25

3) Una urna con 10 bolas de las cuales 6 son negras y 4 blancas, se extraen 2 bolas aleatoriamente?

i) Cual es la probabilidad de que las 2 sean blancas?

ii) cual es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea negro?

iii) cual es la Probabilidad de que los 2 sean negros?

  el espacio muestral seria,  S={(B,B),(B,N),(N,B),(N,N)}

i) P(B2/B1)= $\frac{P(B1 ∩ B2)}{ P(B1)}$ entonces P(B1 ∩ B2) = P(B1)*P(B2/B1)

P(B1)= $\frac{4}{ 10}$         4 casos posibles de que salga blanco entre 10 bolas.

P(B2/B1)= $\frac{3}{ 9}$       como ya salio un blanco quedan 3, entre ahora 9 bolas

 P(B1 ∩ B2)= $\frac{4}{ 10}$ * $\frac{3}{ 9}$ =0,133

ii) P(B∩N)=P(B)*P(N/B)

P(B)= $\frac{4}{ 10}$

 P(N/B)=$\frac{6}{ 9}$

 P(B∩N)=$\frac{4}{ 10}$*$\frac{6}{ 9}$= $\frac{4}{ 15}$=0,266

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